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2025 新教材北师大版九年级数学（下册）单元总结

第一章 直角三角形的边角关系

知识要点

锐角三角函数定义：在 中， ，正弦 ，余弦 ，正切 ，余切 。例如在一个直角边为 3、4，斜边为 5 的直角三角形中，若 的对边为 3，邻边为 4 ，则 ， ， ， 。 特殊角三角函数值：务必牢记 、 、 角的三角函数值。 ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， 。 三角函数计算：利用计算器可求任意锐角的三角函数值，以及根据三角函数值求出相应的锐角。另外，仰角是从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角；俯角是从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角；坡面与水平面夹角的正切值为坡度（或坡比） 。 解直角三角形：已知直角三角形的几个元素（至少有一条边），通过锐角三角函数等知识求其他元素。如已知直角三角形的一个锐角为 ，斜边为 6 ，就能求出其他边和角。 三角函数应用：解决生活中测量高度、距离、角度等实际问题。比如测量旗杆高度，可在离旗杆一定距离处测仰角，再利用三角函数计算。

常见题型

三角函数值计算：依据定义或特殊角值计算。如已知直角三角形中两边长度，求某个锐角的三角函数值 。 解直角三角形：给定直角三角形部分条件，求解其他边和角。如已知两直角边长度，求斜边和锐角角度 。 实际应用问题：构建直角三角形模型求解。像测河宽，在河这边测角度和距离，利用三角函数算出河宽 。

第二章 二次函数

知识要点

函数概念：一般形式是 （ 、 、 是常数， ） ， 是自变量， 是因变量。比如 就是典型的二次函数。 表达式形式：除一般式，还有顶点式 （顶点坐标为 ），可通过配方法得到，如将 配方得 ；交点式 （ ， 是二次函数与 轴交点的横坐标），已知抛物线与 轴交点坐标时常用。 图像性质：图像为抛物线， 决定开口方向， 开口向上， 开口向下；对称轴是直线 ；顶点坐标是 。以 为例， 开口向上，对称轴为 ，顶点纵坐标为 ，即顶点坐标为 。 平移规律：遵循 “上加下减常数项，左加右减自变量”。例如把 的图像向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到 。 与方程关系： 决定抛物线与 轴交点个数， 时，有两个交点； 时，有一个交点； 时，无交点。如二次函数 ， ，该抛物线与 轴有两个交点。

常见题型

函数表达式求解：已知图像上的点或顶点坐标，用待定系数法。若已知二次函数图像过点 ， ，且顶点横坐标为 1 ，可先设顶点式 ，再代入点坐标求解。 性质应用：根据性质判断函数值大小、对称轴位置等。如比较二次函数 中， 和 时函数值大小 。 图像平移：根据平移前后图像信息，求平移单位或平移后表达式。 实际应用：解决利润最大化、面积最值等问题。比如某商品售价 元，销量 与售价关系为 ，成本为每件 10 元，求利润最大时售价，通过建立二次函数模型求解。

第三章 圆

知识要点

圆的相关概念：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合，这个定点是圆心，定长是半径 。 点与圆的位置关系：设圆半径为 ，点到圆心距离为 ， 时，点在圆外； 时，点在圆上； 时，点在圆内 。 圆的性质：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心 。 垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。 圆周角和圆心角的关系：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；半圆（或直径）所对圆周角是直角， 的圆周角所对弦是直径 。 确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆 。 直线和圆的位置关系：设圆半径为 ，圆心到直线距离为 ， 时，直线与圆相离； 时，直线与圆相切； 时，直线与圆相交 。 切线的性质与判定：切线性质为圆的切线垂直于经过切点的半径；判定定理是经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 。 圆内接正多边形：把圆分成 （ ）等份，依次连接各分点所得多边形是这个圆的内接正 边形 。 弧长及扇形的面积：弧长公式 （ 是圆心角度数， 是半径），扇形面积公式 （ 为弧长） 。

常见题型

概念与性质判断：判断关于圆的概念、性质的说法是否正确。如判断 “平分弦的直径垂直于弦” 是否正确 。 位置关系判断与计算：判断点与圆、直线与圆的位置关系，或已知位置关系求相关量。如已知圆半径和圆心到直线距离，判断直线与圆位置关系 。 定理应用：利用垂径定理、圆周角定理、切线长定理等进行证明或计算。如利用垂径定理求弦长 。 圆内接正多边形与弧长、扇形面积计算：计算圆内接正多边形的边长、内角等，以及弧长和扇形面积。如求半径为 5，圆心角为 的扇形面积 。 发布于：浙江省